数学与几何：概览

典型业务场景

数学算法通常是视觉和安全系统背后隐藏的引擎：

• 安全 (RSA)： 当 $B$ 是一个 2048 位的数字时，如何计算 $A^B \pmod M$？ (快速幂)。
• 游戏开发： 检测碰撞或计算敌人的“视野锥” (几何 / 凸包)。
• 金融： 通过模拟数百万种可能的市场未来来为复杂的衍生品定价 (蒙特卡洛)。
• 数据布局： 计算最佳网格大小或调度周期性任务 (GCD / LCM)。

选型框架：怎么选？

1. 你在处理超大数字吗？
   • 是： 使用 快速幂 (Binary Exponentiation) 进行幂运算，使用 欧几里得算法 求约数。
2. 问题是确定性的还是概率性的？
   • 确定性： 使用精确公式 (几何, 矩阵运算)。
   • 太复杂无法用公式求解： 使用 蒙特卡洛模拟 (Monte Carlo) 来逼近答案。
3. 你在处理 2D/3D 形状吗？
   • 寻找边界： 使用 凸包 (Convex Hull) (Graham 扫描法)。
   • 求交点： 使用 扫描线 (Line Sweep) 算法。

常见算法速览

• 7.1 快速幂： 在 $O(\log n)$ 时间内计算 $x^n$。密码学的基石。
• 7.2 GCD (欧几里得算法)： 这个有 2000 年历史的算法至今仍是求最大公约数的最快方法。
• 7.3 蒙特卡洛： 通过向棋盘投掷随机飞镖来解决不可能的积分问题。
• 7.4 凸包 (Graham 扫描)： 用一根橡皮筋将一组点紧紧包住。

选型对比速查

一句话心法

“数学算法是捷径。它们利用数字和空间的属性，跳过了数十亿个不必要的计算步骤。”