蒙特卡洛模拟 (Monte Carlo)

引言：用飞镖计算 Pi ($\pi$)

想象你在墙上画了一个正方形，里面有一个内切圆。你扔飞镖的技术很烂，所以你是随机乱扔的。 扔了 1,000 次后：

• 总投掷数：1,000
• 落在圆内：785
• 比率：$785 / 1000 = 0.785$

因为 圆的面积 / 正方形面积 = $\pi / 4$，我们可以得出 $\pi \approx 4 imes 0.785 = 3.14$。 你刚刚用随机运气算出了圆周率。这就是 蒙特卡洛方法。

算法要解决什么问题？

• 输入： 一个带有不确定变量的系统，或者复杂到无法用解析法求解的方程。
• 输出： 基于大量随机模拟的近似结果。
• 承诺： 能解决传统数学无法解决的问题（如高维积分）。

核心思想 (直觉版)

“大数定律” 如果你重复一个实验足够多次，结果的平均值将收敛于真实的期望值。 与其试图精确计算一副德州扑克手牌获胜的概率（涉及巨大的组合数学），不如直接模拟打这副牌 100 万次，然后统计赢的次数。

典型业务场景

• ✅ 金融 (风险分析)： “我的投资组合明年亏损 20% 的几率有多大？” 模拟 10,000 种可能的股市未来。
• ✅ 光线追踪 (图形学)： 模拟数百万个光子随机弹跳，以创造逼真的光照和阴影效果。
• ✅ AI (AlphaGo)： 蒙特卡洛树搜索 (MCTS) 模拟数千种随机的未来棋局，以决定当下的最佳着法。
• ✅ 工程学： 通过模拟带有随机变化的风载荷来测试桥梁的可靠性。

性能与复杂度总结

• 精度： 随 $\sqrt{N}$ 提高（$N$ 是样本数）。要使精度翻倍，你需要 4 倍的样本。
• 速度： 高度可并行化（你可以同时在 1,000 个 GPU 上运行模拟）。

小结：一句话记住它

“蒙特卡洛是‘概率的暴力破解’。当方程太难解时，就模拟它一百万次。随机性的总和往往能揭示真理。”