數學與幾何：概覽

典型業務場景

數學演算法通常是視覺和安全系統背後隱藏的引擎：

• 安全 (RSA)： 當 $B$ 是一個 2048 位元的數字時，如何計算 $A^B \pmod M$？ (快速冪)。
• 遊戲開發： 檢測碰撞或計算敵人的「視野錐」 (幾何 / 凸包)。
• 金融： 透過模擬數百萬種可能的市場未來來為複雜的衍生品定價 (蒙地卡羅)。
• 數據佈局： 計算最佳網格大小或調度週期性任務 (GCD / LCM)。

選型框架：怎麼選？

1. 你在處理超大數字嗎？
   • 是： 使用 快速冪 (Binary Exponentiation) 進行冪運算，使用 歐幾里得演算法 求因數。
2. 問題是確定性的還是概率性的？
   • 確定性： 使用精確公式 (幾何, 矩陣運算)。
   • 太複雜無法用公式求解： 使用 蒙地卡羅模擬 (Monte Carlo) 來逼近答案。
3. 你在處理 2D/3D 形狀嗎？
   • 尋找邊界： 使用 凸包 (Convex Hull) (Graham 掃描法)。
   • 求交點： 使用 掃描線 (Line Sweep) 演算法。

常見演算法速覽

• 7.1 快速冪： 在 $O(\log n)$ 時間內計算 $x^n$。密碼學的基石。
• 7.2 GCD (歐幾里得演算法)： 這個有 2000 年歷史的演算法至今仍是求最大公因數的最快方法。
• 7.3 蒙地卡羅： 透過向棋盤投擲隨機飛鏢來解決不可能的積分問題。
• 7.4 凸包 (Graham 掃描)： 用一條橡皮筋將一組點緊緊包住。

選型對比速查

一句話心法

「數學演算法是捷徑。她們利用數字和空間的屬性，跳過了數十億個不必要的計算步驟。」