蒙地卡羅模擬 (Monte Carlo)

引言：用飛鏢計算 Pi ($\pi$)

想像你在牆上畫了一個正方形，裡面有一個內切圓。你扔飛鏢的技術很爛，所以你是隨機亂扔的。 扔了 1,000 次後：

• 總投擲數：1,000
• 落在圓內：785
• 比率：$785 / 1000 = 0.785$

因為 圓的面積 / 正方形面積 = $\pi / 4$，我們可以得出 $\pi \approx 4 imes 0.785 = 3.14$。 你剛剛用隨機運氣算出了圓周率。這就是 蒙地卡羅方法。

演算法要解決什麼問題？

• 輸入： 一個帶有不確定變數的系統，或者複雜到無法用解析法求解的方程式。
• 輸出： 基於大量隨機模擬的近似結果。
• 承諾： 能解決傳統數學無法解決的問題（如高維積分）。

核心思想 (直覺版)

「大數定律」 如果你重複一個實驗足夠多次，結果的平均值將收斂於真實的期望值。 與其試圖精確計算一副德州撲克手牌獲勝的概率（涉及巨大的組合數學），不如直接模擬打這副牌 100 萬次，然後統計贏的次數。

典型業務場景

• ✅ 金融 (風險分析)： 「我的投資組合明年虧損 20% 的機率有多大？」 模擬 10,000 種可能的股市未來。
• ✅ 光線追蹤 (圖形學)： 模擬數百萬個光子隨機彈跳，以創造逼真的光照和陰影效果。
• ✅ AI (AlphaGo)： 蒙地卡羅樹搜尋 (MCTS) 模擬數千種隨機的未來棋局，以決定當下的最佳著法。
• ✅ 工程學： 透過模擬帶有隨機變化的風載荷來測試橋樑的可靠性。

性能與複雜度總結

• 精度： 隨 $\sqrt{N}$ 提高（$N$ 是樣本數）。要使精度翻倍，你需要 4 倍的樣本。
• 速度： 高度可平行化（你可以同時在 1,000 個 GPU 上執行模擬）。

小結：一句話記住它

「蒙地卡羅是『概率的暴力破解』。當方程式太難解時，就模擬她一百萬次。隨機性的總和往往能揭示真理。」